¿De cuántas maneras se puede leer, de forma continua, la palabra matemáticas uniendo letras vecinas en el siguiente dibujo?
Nivel: Segundo ciclo de Secundaria
Hoy os presento otro juego más que se juega en el tablero del solitario inglés: el zorro y los gansos.
El zorro y los gansos
Es un juego de bloqueo con desigualdad entre ambos contendientes.
El tablero
El tablero es el mismo que el del solitario inglés.
Objetivo del juego
Juegan dos jugadores, uno con una ficha roja (el zorro) y el otro con 13 fichas azules, los gansos. Una evolución del juego, consiste en jugar con 15 gansos colocados en los puntos centrales del extremo izquierdo y derecho.
Los gansos ganan si inmovilizan al zorro, el zorro gana si devora a tantos gansos que ya no se puede inmovilizar.
Reglas del juego
- El juego comienza con las fichas en la disposición que se ve en el tablero .
- Los gansos hacen el primer movimiento.
- Los gansos se moverán en vertical u horizontal y nunca en diagonal ni hacia atrás. Para igualar más el juego se pueden contemplar las siguientes variantes de esta regla:
- si jugamos con 13 fichas podemos permitir mover hacia atrás y en diagonal.
- en el caso de jugar con 15 fichas, prohibiríamos ir hacia atrás, permitiendo mover en diagonal.
- si jugamos con 17 añadiríamos ambas prohibiciones.
- El zorro puede desplazarse, en todas las direcciones, a una casilla contigua vacía.
- Los gansos capturan a un zorro saltando por encima de él a una intersección vacía (similar a las damas). La captura se realiza también solo de manera ortogonal y no en diagonal. Múltiples saltos en las capturas son posibles.
El tablero para imprimir
Como en toda la serie, os comparto un tablero para que imprimir y/o plastificar. Para descargaros el tablero, hacer clic en la imagen:
Hoy os presento uno de los juegos de estrategia de los que mejor recuerdo tengo de mi juventud: el asalto. Me encantaba jugar contra mis amigos a este juego, bien como oficial o como soldado . Cuando no tenía con quién jugar y debido a que el tablero es muy similar, me dedicaba a resolver las distintas posiciones del solitario inglés.
El asalto
El asalto es una variante del juego del zorro y de los gansos. Se basa en la idea de unas fuerzas numerosas, pero pobremente armadas, que asaltan una poderosa, pero pequeña fortaleza. Se juega al asalto en muchos países europeos, como Alemania, Francia e Inglaterra. Los ingleses lo re-nombraron a ‘Oficiales y Cipayos‘ después de la rebelión india en 1857-1858, cuando las tropas indias (cipayos) se rebelaron contra sus oficiales británicos
El tablero
El tablero es el mismo que el del solitario inglés.
Objetivo del juego
Es un juego para dos jugadores de fuerzas desiguales: dos fichas hacen de oficiales y otras veinticuatro, de otro color actúan de soldados. Los oficiales, con libertad de acción deberán defender la fortaleza del asalto de veinticuatro soldados con movimientos restringidos.
- Los soldados culminan el asalto cuando han ocupado todas los puntos del interior de la fortaleza, o bien cuando los oficiales no se pueden mover.
- Los oficiales impedirán el asalto y ganarán cuando el número de soldados sea inferior a 9.
Reglas del juego
- Se colocan las fichas en la posición inicial, según el dibujo anterior.
- Los jugadores se mueven por turno.
- Los soldados comienzan la partida moviendo uno de ellos a una casilla vacía, siempre hacia delante, en vertical o diagonal, nunca hacia atrás. Solo pueden desplazarse a la izquierda o derecha los soldados que no por sus posición inicial no tienen otro movimiento posible.
- Los oficiales pueden desplazarse en todas las direcciones a una casilla contigua vacía.
- El oficial captura a un soldado saltando sobre él. Puede capturar varios en un solo movimiento por medio de varios saltos.
El tablero para imprimir
Como en toda la serie, os comparto un tablero para que imprimir y/o plastificar. Para descargaros el tablero, hacer clic en la imagen:
Podemos observar dos circunferencias de perímetro 20 cm, construidas de forma que cada una pasa por el centro de la otra. ¿Qué perímetro tendrá la figura?
Nivel: 2º ciclo de Secundaria
Fuente: Concurso de Primavera
Nada mejor para empezar esta entrada dedicada a las investigación en el aula de matemáticas que hablan de la importancia de pensar:
El arte de resolver problemas, como todo arte, es una actividad que requiere fe (se puede), coraje (se quiere), humildad (no se sabe todo) y disciplina (se está dispuesto a esforzarse por seguir aprendiendo) .
Anónimo
Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar.
Hipatia
Para tratar de resolver cualquier problema y, en las investigaciones, puede haber varios de ellos, me parece fundamental la primera cita: necesitamos fe, coraje, humildad y disciplina. Creo que la siguiente imagen muestra con claridad la premisa necesaria: «quiero hacerlo«.
De ahí parte todo, el resto de escalones nos van a surgir pero seremos capaces de superarlos, o bien por nosotros mismos, o con la ayuda de los demás.
En la resolución de los problemas tenemos que tener claro que estar atascado o bloqueado es una situación muy digna, que constituye la parte fundamental de la construcción del razonamiento matemático. Para ello, no hay nada mejor que enfrentarse a muchos problemas y a hacer muchas investigaciones. Sigo sin comprender porqué es más importante conocer fórmulas, realizar cálculos con precisión y hacer ejercicios repetitivos con la idea de que más adelante lo vas a necesitar, que hacer nuestras propias conjeturas, equivocarnos e ir construyendo nuestro razonamiento matemático. Citando a Paul Lockart:
Si privas a los alumnos de tener la oportunidad de participar en esta actividad de proponer problemas, hacer sus propias conjeturas y descubrimientos, de estar equivocados, de estar creativamente frustrados, de tener una inspiración, y de improvisar sus propias explicaciones y demostraciones, les estás privando de las matemáticas en sí mismas.
Paul Lockart
Además de dejaros con esas reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas sobre las que sigo dando vueltas, en esta entrada, quería compartir con vosotros tres investigaciones sencillas a las que podemos sacar partido en el aula.
En una entrada anterior, ya os presenté una serie de posibles investigaciones que pretendo complementar con las que ahora so presento.
Los folletos de papel
Como todos sabemos un folleto de papel se puede hacer doblando una única hoja de papel, y luego cortando y grapando. Si quiero numerar las páginas antes de hacer las dobleces, ¿sabrías decirme cómo hacerlo?
Empieza probando, aborda el problema
- Dobla una hoja cuatro veces, numera las páginas y luego, sin cortar, desdobla otra vez. ¿qué ves?
- Haz más dobleces y observa.
Conjetura
- ¿Cómo se relacionan los números de las páginas con los lados opuestos del papel?
- Intenta encontrar una ley general para cualquier número de dobleces.
- ¿Eres capaz de explicar tu razonamiento a tu compañero? Hazlo.
- ¿Cómo harías las comprobaciones para no cometer errores?
La tira de papel
Imagina una tira de papel larga y estrecha sobre la mesa, de izquierda a derecha. Coge el extremo derecho y colócalo sobre el izquierdo. Ahora aplasta la tira sobre la mesa de forma que quede plegada y con un doblez. Repite la operación dos veces más sobre la nueva tira doblada. ¿Cuántos dobleces se producirán? ¿Cuántos dobleces habrá después de repetir la operación diez veces?
Empieza probando, aborda el problema
- Coge una tira de papel y soluciona el primer problema.
- Haz más dobleces y observa.
- Experimenta.
Conjetura
- ¿Hay algo relacionado con las dobleces que puedas contar con facilidad?
- Haz una tabla que relacione el número de veces que doblas la tira con el número de dobleces.
- Busca un patrón en la tabla anterior.
- Intenta encontrar una ley general para cualquier número de dobleces.
- ¿Eres capaz de explicar tu razonamiento a tu compañero? Hazlo.
- ¿Cómo harías las comprobaciones para no cometer errores?
Popcorn picker
En esta actividad vamos a usar el método de los tres pasos de Dan Meyer. En concreto, todo lo necesario para la investigación lo tenemos en esta web:
- En el primer paso, vemos el vídeo que podemos encontrar en la web.
- En el segundo paso, los alumnos se hacen preguntas y solicitan datos. que les daremos, pero siempre después de que ellos los pidan, no antes. En este paso, tienen que hacer sus propias construcciones y sacar las conclusiones. Tratamos de llegar a ver la razón matemática que lo justifica.
- En el tercer paso, vemos la respuesta y contrastamos las respuestas de los alumnos.
- Sería recomendable resolver las cuestiones que plantea Dan Meyer a modo de continuación.
Espero vuestras opiniones :-).
En esta nueva entrada, os voy a compartir un juego de fuerzas desiguales que engancha mucho a los alumnos. Es un juego para dos personas en un tablero de alquerque que se puede clasificar como juego de asalto y captura ya que los objetivos difieren del coyote y de las gallinas.
El juego en Europa es conocido como «cercar la liebre» mientras que en América se le conoce como «el coyote y las gallinas». Ambas variantes se juegan igual.
El «coyote y las gallinas» o «cercar la liebre»
El tablero
Se juega en un tablero de alquerque como el dibujo. Un jugador escoge las gallinas (12 piezas) y otro será el coyote (una pieza).
Reglas del juego
- Se colocan las fichas en la posición inicial, según el dibujo anterior.
- Los jugadores, por turno, van moviendo una de sus piezas a una casilla vacía.
- Los cazadores comienzan la partida.
- La liebre y los cazadores pueden desplazarse en todas las direcciones a una casilla contigua vacía.
- La liebre elimina a un cazador saltando sobre él (como en las damas). Puede capturar varios en un solo movimiento por medio de varios saltos.
Objetivo del juego
- De los cazadores o gallinas: rodear al coyote o liebre e impedirle que se mueva o pueda comer.
- De la liebre o el coyote: eliminar el mayor número cazadores o gallinas posibles para que no puedan atraparle. En el dibujo se han eliminado tres, número con el que gana con seguridad el coyote o la liebre.
Los tableros para imprimir
Como en toda la serie, os comparto unos tableros para que imprimir y/o plastificar. Para descargaros el tablero, hacer clic en la imagen:
Os dejo también un tablero más sobrio pensado para fichas de colores rojo y azul:
Si queréis jugar online, lo podéis hacer en esta web.
En esta entrada os voy a presentar un clásico de los juegos de tablero de saltar: el solitario inglés. Supongo que todos los conocéis, es casi seguro que lo habéis visto alguna vez en forma de tablero con agujeros acompañado de una colección de canicas. Es también conocido como solitario de la cruz o como senku (así lo podéis encontrar en la wikipedia).
Junto al solitario inglés veremos una serie de problemas o retos de menor dificultad que son ideales para introducir a los alumnos en este juego de forma progresiva.
El solitario inglés
El tablero
El tablero más conocido es tablero inglés, pero existen bastantes variantes que aún con las mismas reglas o muy similares cambian ligeramente el juego. Los tableros más conocidos son, además del inglés los siguientes:
(1) Estilo francés (europeo), 37 casillas, Siglo XVII;
(2) J. C. Wiegleb, 1779, Alemania, 45 casillas;
(3) Versión asimétrica en 3-3-2-2 descrita por George Bell, siglo XX;
(4) Estilo inglés (estándar), 33 casillas;
(5) Diamante, 41 casillas;
(6) Triangular, 15 casillas.
La casilla gris es para la ficha que queda al final.
Objetivo del juego
Partiendo de un solo hueco libre, generalmente el central, se deben eliminar todas las piezas excepto una.
Reglas del juego
Cada movimiento consiste en saltar hacia adelante, hacia atrás o hacia ambos lados, pero nunca en diagonal, con una pieza cualquiera sobre otra adyacente para ocupar un hoyo inmediato que esté vacío. La pieza por encima de la cual se salta es eliminada del tablero.
El juego termina cuando sólo queda una pieza en el tablero.
Podemos aumentar la dificultad del juego si se exige que la última bola termine en el ce ocupando el lugar central.
Problemas o posiciones a resolver
Además de la posición en la que ponemos todas las fichas en el tablero menos una, existen otras posiciones de diferente dificultad que las podemos usar para introducir el juego de forma gradual.
La cruz |
El signo más |
Submarino |
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Hogar |
Pirámide |
Flecha |
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Diamante |
Pirámide – Flecha |
Tablero total |
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Os dejo un PDF con todas las posiciones.
Los tableros para imprimir
Como en toda la serie, os comparto unos tableros para que imprimir y/o plastificar. Para descargaros el tablero, hacer clic en la imagen:
Os comparto también otros modelos de solitarios por si os apetece probarlos:
Podéis jugar al solitario inglés online aquí y podéis ver las soluciones en esta otra web.
¿De cuántas formas puede escribirse el número 100.001 como suma de dos números primos?
100.001=A+B siendo A y B primos
Nivel: Primer ciclo de Secundaria
En una entrada anterior, anuncié el comienzo de una serie de artículos dedicados a los juegos de estrategia que tienen un claro contenido matemático.
Voy a empezar esta serie de juegos matemáticos con uno de mis preferidos «El juego del molino o nueve hombres de Harris«.
Es un juego que pertenece a la categoría de juegos de posición en los que las piezas deben colocarse de una determinada forma para ganar el juego.En este juego hay que tratar de hacer hacer tres en raya, (tres fichas seguidas en la misma línea) que se conoce como formar un «molino». Puede parecer que al ser un juego de tres en raya, sea un juego sencillo pero como veréis en las reglas de juego, su complejidad es elevada. En próximos artículos, mostraré otros juegos de molino más sencillos que podríamos usar antes de introducir éste.
El molino o nueve hombres de Harris
El tablero y las fichas
Se comienza con un tablero vacío como el del dibujo.
Juegan dos jugadores, cada uno nueve fichas de un color (nueve hombres de Harris) y que se turnan para colocarlas en las intersecciones vacías.
Reglas de juego:
El juego suele tener dos etapas, la primera de colocación de las piezas, llamada también el goteo; y la segunda, la etapa de mover y capturar piezas. Por lo general los jugadores deciden quien va primero, y luego se alternan en las próximas partidas.
En la etapa de goteo, cada jugador va colocando de forma alternada una pieza en el tablero. Si un jugador hace un molino (una fila de tres piezas), ya sea horizontal, verticalmente o en diagonal, puede eliminar cualquiera de las piezas del otro jugador del tablero de juego, a excepción de una pieza ubicada en un molino del jugador contrario (salvo que no exista otra opción). Es obligatorio “comer” las fichas contrarias. Si no se come, la ficha del jugador que no ha comido se retira del tablero.
Después de colocar cada jugador sus nueve fichas, los dos jugadores van desplazando, por turno, una de sus fichas a un punto adyacente libre (siempre a través de una línea y un único salto) para formar un molino y eliminar las fichas del contrario.
Para que las partidas den más juego, se suele jugar con la variante que permite al jugador que solo le quedan tres fichas, volar sus fichas, es decir, moverlas a cualquier punto vacío sin tener que seguir las líneas.
Objetivo:
Gana la partida quien consigue bloquear las fichas del rival para que no pueda hacer ningún movimiento o quien ha dejado al contrario con solo dos fichas sobre el tablero.
El tablero para imprimir
Y con el motivo de facilitaros la tarea de llevarlo al aula o, simplemente, de pasar un rato divertido con este juego, he creado un tablero en A4 que solo tenéis que imprimir. Para descargaros el tablero, hacer clic en la imagen:
Si queréis el tablero en blanco y negro, lo tenéis aquí.
Para finalizar, si os ha gustado el juego y queréis jugar online, lo podéis hacer en esta web.
Fuentes:
En otro artículo de este blog, ya he puesto un maravilloso vídeos creado por Cristóbal Vila de Etérea Studios:
En este artículo, os invito a ver esta otra maravilla de Cristóbal titulada «Inspirations«, que tal y como dice, trata de imaginar como sería el escritorio de trabajo del genial Escher:
Así que volví a mirar hacia esa enorme e inagotable fuente de inspiración que es Escher y traté de imaginar cómo podría ser su lugar de trabajo, de qué cosas se rodearía un artista como él, tan profundamente interesado por la ciencia en general y las matemáticas en particular. Todo ello, eso sí, de una forma completamente imaginaria, libre e inventada.
Suelo poner este vídeo a mis alumnos para que vean otras cosas que están directamente relacionadas con las matemáticas y se quedan impresionados. El propio Cristóbal hace un excelente análisis de las matemáticas que hay tras el vídeo.
La cantidad de matemáticas y de recursos matemáticos que podemos encontrar en él es fantástica:
- La leyenda de Sessa: esta leyenda es más conocida como la leyenda del origen del ajedrez. En dicha leyenda podemos encontrar las progresiones geométricas y de forma relacionada el poder de la función exponencial, así como los números binarios. Recuerdo que en una de las clases, les llamó mucho la atención las escenas relativas a esta leyenda y me pidieron que se la explicará. Al finalizar la explicación, una alumna (Sheila) me argumentó que era imposible que no hubiera grano en el mundo para pagar a Sessa. Se le escapaban los números, cosa lógica y común. Le respondí que no sabía si llevaba razón, que nos pusiéramos a hacer los cálculos y los números nos darían o quitarían la razón. Dicha discusión se avivó entre el resto de la clase, se había creado el germen del pensamiento matemático y, aprovechamos la coyuntura. Dividimos la clase en parejas y nos pusimos a hacer los cálculos. El resultado lo podéis imaginar ;-).
- Los cinco sólidos platónicos. Los sólidos platónicos o regulares son los poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras. Solo existen cinco sólidos regulares: cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro y dodecaedro. En la siguiente imagen, podeís ver como los construimos en clase con palillos y gominolas. Al finalizar la clase, es fácil saber que hacemos con las gominolas.
- El último Teorema de Fermat, un clásico donde los haya: “Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x,y,z tales que se cumpla la igualdad x^n+y^n=z^n (con x,y,z no nulos)”
- La formula de Euler. Considerada la fórmula más bella de las matemáticas ya que relaciona en una sencilla fórmula, los números más importantes de la matemática: el número e, pi e i.
- La curva cicloide. «Es la curva que genera un punto de una circunferencia cuando está gira sobre una línea recta». Las propiedades de la cicloide, que ya los hermanos Bernouilli descubrieron, es un resultado que sorprende a la gran mayoría de la gente y que a los alumnos les ayuda a entender las forma de los Skate park. Pero esto da para más de un artículo de este blog.
- La máquina de Galton: teorema del límite central y la distribución normal.
- Anamorfosis: «Dibujo o pintura que está deformada de tal modo que recupera su imagen sin deformaciones al mirarla desde un determinado ángulo o a través de un espejo cilíndrico o cónico». Esta técnica la usan muchos artistas urbanos como «Julian Beever«
Un ejemplo de esta técnica lo podemos encontrar en la «Casa de las Ciencias» de Logroño en la que se puede leer esta frase de Einstein: «Lo importante es no dejar de hacerse preguntas«
- El triángulo de Realeaux.
- Los siete puentes de Kónigsberg.
- Pentominos.
- Tangrams.
- Puzzles de Sam Lloyd.
- …
Aquí tenéis el vídeo, que lo disfrutéis:
INSPIRATIONS from Cristóbal Vila on Vimeo.
Más información: Inspirations.
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