En anteriores entradas, publiqué los dos primeros ejercicios con su solución:

• Oposiciones La Rioja 2025 (1)
• Oposiciones La Rioja 2025 (2)

Veamos el tercero.

Ejercicio 3

Sean dos circunferencias de radios R y r, con centros, respectivamente, O y O’ que son tangentes exteriores en el punto A.

Por el punto A se traza la recta tangente común a ambas circunferencias.

Si desde un punto cualquiera, B, de dicha tangente, se trazan dos rectas tangentes, una a cada una de las circunferencias, los puntos C y C’ son, respectivamente, son los puntos de tangencia.

1. Hallar el límite del cociente de las áreas de los triángulos ABC y ABC’  cuando B se aproxima a A.
2. Hallar el límite del cociente de las áreas de los triángulos ABC y ABC’ cuando B se aleja indefinidamente de A.

La clave de este ejercicio es darse cuenta que los segmentos BC y BA son iguales. Luego se ve que los triángulos OAB y ADB son semejantes lo que nos permite poner el área del triángulo ADB (que es la mitad del ABC) en función de R y b (distancia de A a B). Luego basta con hallar los límites cuando b (distancia de A a B) tiende a cero y cuando b tiende a infinito.

En el siguiente geogebra se puede ver con claridad:

Os adjunto un documento con todo el ejercicio resuelto: ejer03-larioja-2025