Calcular el valor de x para que se cumpla:
\( 4^x+4^x+4^x+4^x= 4^{20}\)
Nivel: A partir de 2º de ESO
Fuente: Nrich
Seguimos con los bingos matemáticos. Hoy toca compartir uno que he creado para practicar las operaciones con los números enteros.
URL: http://www.aomatos.com/juegos/bingo-enteros.php
El manejo es muy sencillo y está explicado en la propia web.
Podéis encontrar diferentes niveles que van incrementando en dificultad, desde el básico hasta el 2B. Para que os hagáis una idea de la dificultad, os dejo unos ejemplos de cada nivel.
Nivel básico
Nivel 1 A
Nivel 1 B
Nivel 2 A
Nivel 2 B
Os comparto el nuevo bingo que he creado para trabajar de forma divertida en el aula las razones trigonométricas de los ángulos fundamentales.
El funcionamiento es similar a los otros bingos que he creado así que no me entretengo en su explicación. La única diferencia es que hay que descargarse los cartones de bingo e imprimirlos. Todo lo necesario, junto con las explicaciones pertinenentes, lo tenéis en la web del bingo:
URL: http://www.aomatos.com/juegos/bingo-trigono.php
PD: Ante cualquier error que podáis encontrar, agradecería que me lo notificarais.
Durante el curso pasado (2016/2017) impartí el curso «Ideas y recursos para la clase de Matemáticas en Secundaria» en el CFIE de Burgos invitado por Ana Mª Pontón Oca. Fue un lujo coincidir con un grupo de profesores comprometidos con la enseñanza de las matemáticas y con una asesora apasionada de nuestra profesión. Antes de seguir quiero darles las gracias (aunque tarde) por el trato que me dispensaron. Hubo momentos de debate sobre la visión que tenemos cada uno de la enseñanza de las matemáticas, del enfoque de la misma, de las opiniones de los alumnos, etc.
Este post es el primero de una serie en la que os iré contando los aspectos tratados en cada una de las sesiones y compartiré el material que usé para dicho curso. Antes de continuar quiero advertir que aunque el título del curso se refiera a Secundaria, una gran parte de él puede usarse a la perfección en el tercer ciclo de Primaria.
En la introducción del curso se usó la siguiente descripción de la matemática que aparece en el Boletín Oficial de Castilla y León:
La matemática es mucho más que la ciencia de los números (…) su carácter
aglutinante, universal, teórico y riguroso y a la vez pragmático y aplicable a todas
las ciencias (…) hace de esta disciplina una auténtica ciencia del conocimiento.
(Bocyl, 8 mayo de 2015, p.32190)
Aunque dicha definición es cierta y no podemos obviarla, me gusta más entender las matemáticas en base a estas palabras de G. H. Hardy:
Un matemático, como un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones son más permanentes que los del poeta, es porque están hechos de ideas.
Y si a las palabras de Hardy le añadimos las de Goethe «Saber no es suficiente, debemos aplicar. Desear no es suficiente, debemos hacer» se nos presenta el aula de matemáticas como una bella excusa para pensar como decía el amigo «Ángel Ramírez»:
Con todo lo anterior el objetivo principal de curso era dar al profesorado estrategias y recursos motivantes que justifiquen la necesidad de conocer las matemáticas a través de proyectos de investigación, tecnologías que mejoren el aprendizaje y la resolución de problemas como reto formativo de primer orden. Todo ello desde mi perspectiva de uso en el aula, viendo aquellas herramientas que a mi me sirven, aquellos proyectos que me han funcionado (y también aquellos que no), usando recursos sencillos que resultan motivadores para el alumnado, etc,
Anticipando algún post y para que os hagáis una idea del enfoque que quería dar os pongo como sencillo ejemplo la diferencia entre plantear una pregunta aburrida y repetitiva «calcula los divisores de 6» versus una tarea rica «¿qué números tienen cuatro divisores?».
La estructura del curso fue la siguiente, cuatro sesiones de tres horas con los siguientes títulos que os pueden permitir haceros una idea de los temas tratados:
- «Utilidades y recursos TICA: Desmos, Kahoot, Plickers,ThatQuiz, libros de GeoGebra»
- «Proyectos matemáticos: restaurante matemático y otros guisos».
- «Juegos matemáticos para el aula: puzles, bingos, cuatro en raya».
- «Ideas y recursos variados para el aula: cine y matemáticas, matemáticas en tres actos, investigaciones matemáticas».
Y finalizo con la presentación que usé en la primera sesión:
Os comparto un sencillo y divertido puzzle para trabajar la divisibilidad a un nivel básico y que puede ser ideal para iniciar un tema o realizar al principio de curso.
Nos descargamos el siguiente archivo en el que encontraremos todo lo necesario: el tablero, un juego de cartas con números y otro con las condiciones.
El tablero y los juegos de cartas
- Primero colocamos en el puzzle con las cartas de condiciones en las filas y columnas rectangulares.
- El objetivo es colocar todos los números en la celdas cuadradas cumpliendo la condición que corresponda a esa fila y esa columna.
Fuente: NRICH
Este es el tercer juego de esta saga y que requiere más tiempo de juego.
Los 100 números
Hoja de resultados del juego
Objetivos
- Trabajar la jerarquía de las operaciones
- Operaciones combinadas de números naturales (y enteros)
Nivel: 1º y 2º de ESO
Materiales
- Cuatro dados de un color
- Hoja de resultados
Reglas
-
Se lanzan los dados y se anotan los resultados en la tirada 1.
-
Cada equipo va creando sentencias matemáticas con dichos números para obtener los números del 1 al 100 con las siguientes reglas:
-
se pueden usar las operaciones: +, -, x, /, raíz cuadrada, potencia y paréntesis
-
se han de usar todos los números que han salido y solo una vez
-
-
Una vez agotadas las secuencias para la tirada 1, se pasa a la tirada 2 y así sucesivamente hasta que se considere que ha acabado el juego o se hayan conseguido los 100 números.
-
Variante: poner un número mínimo de números a usar para que sea válida la respuesta.
Ejemplo:
Si al lanzar los dados obtenemos: 4, 4, 2 y 6 , podemos obtener las siguientes operaciones:
- 4 x 4 x 2 + 6 = 38
- (6 – 4 + 4) x 2 = 12
- 6 – 4 + 4 x 2 = 10
- 4² x 4 + 6 = 70
- …
Os dejo el documento con las explicaciones y la hoja de registro de resultados:
URL: https://app.box.com/s/4x4oj1vzyp85gr4y697pp8ixfbmvwp9n
Os dejo otro sencillo y divertido juego para trabajar las operaciones con números naturales y enteros:
Commit and capture
Tablero del juego
Objetivos
- Trabajar la jerarquía de las operaciones
- Operaciones combinadas de números naturales (y enteros)
Nivel: 1º y 2º de ESO
Materiales
- Cuatro dados de un color
- Tablero
Reglas
Versión Rápida: Se compite por parejas. Cada equipo tiene su propio tablero. Los equipos se turnan para elegir un dado y lo lanzan. Deben llenar un espacio libre de una fila de operaciones con el número que salió. Los equipos completan la operación a la vez que no tiene por qué ser la misma. Cuando la operación está completa gana el equipo con mayor valor.
Versión más rápida: Jugado igual que arriba pero ambos equipos hacen la misma operación. muchos lazos con este método.
Versión matemática: Jugado igual que la versión más rápida, excepto que cada equipo puede completar cualquier espacio abierto en cualquier operación. La puntuación no se realiza hasta que no se haya completado toda la hoja.
Variaciones:
- Dado que es posible que haya respuestas negativas gana el que tiene mayor valor absoluto.
- Gana el que obtenga el menor valor posible
- Jugar tres equipos.
Os dejo el documento con las explicaciones y el tablero:
URL: https://app.box.com/s/l0aie8vhsk0vgv77ienkwmt7pn5p8s5w
Fuente: https://sites.google.com/a/pvlearners.net/sweigand-games/commit-and-capture
Quiero compartir con vosotros unos rompecabezas que descubría hace un tiempo y que les veo mucha utilidad en nuestras clases.
Yohaku es un nuevo tipo de puzzle de números que pone a prueba tu sentido numérico y tus habilidades para resolver problemas. Cada yohaku es un puzzle aditivo o multiplicativo (como se indica por el símbolo en la parte inferior derecha de la cuadrícula). El objetivo es rellenar las celdas vacías de manera que den la suma o producto que se muestra en cada fila y columna.
En el siguiente ejemplo se ve un yohaku aditivo (ver el + en la celda inferior derecha) y su solución.
En la web de Yohaku podemos encontrar los siguientes puzles:
- Aditivos, la operación a usar es la suma.
- Miltiplicativos, la operación es la multiplicación.
- Algebraicos, ideales para practicar la suma y multiplicación de monomios.
De cada uno de los tipos, tenemos diferentes dimensiones: 2×2, 3×3 y 4×4.
Se pueden usar para trabajar cualquier tipo de operaciones de números. Este año los voy a usar para operar con números enteros y con fracciones.
Os muestro diferentes tipos de Yohakus.
Yohaku aditivo de 4×4
Yohaku multiplicativo de 3×3
Yohaku algebraico de 3×3
Yohakus de fracciones
Como podemos ver son puzzles muy sencillos que podemos crear nosotros mismos o que los creen los alumnos por grupos creando desafíos.
Los de 2×2 se pueden adaptar perfectamente a la resta.
Propuesta para el aula (fracciones o números enteros)
- Organizamos a los alumnos en grupos o parejas.
- Empiezan resolviendo diferentes yohakus que les daré yo. Habrá de sumas, restas y multiplicaciones de 2×2. (en breve las publicaré aquí)
- Sobre una hoja variada de yokakus haremos una competición por grupos a ver quién los completa antes.
- Cada grupo diseñará una plantilla con diferentes yokakus de sumas, restas y multiplicaciones de 2×2. (en breve, la publicaré aquí)
- Posteriormente, los grupos se retarán con las plantillas creadas por ellos mismos.
Empiezo una serie de juegos para trabajar la jerarquía de las operaciones y/o las operaciones combinadas con números naturales y/o enteros.
En este caso, vamos con uno sencillo y muy divertido:
Mezcla de números
Tablero del juego
Objetivos
- Trabajar la jerarquía de las operaciones
- Operaciones combinadas de números naturales (y enteros)
Nivel: 1º y 2º de ESO
Materiales
- Seis dados de un color
- Dos dados del otro color
- Tablero
Reglas
El objetivo general es conseguir el número central con los números exteriores mediante el uso de las operaciones básicas y paréntesis.
Para generar el número central se usan dos dados, uno representa la cifra de las unidades y el otro las decenas.
Los números exteriores se obtienen al lanzar los seis dados.
Si queremos trabajar con números negativos podemos usar un dado para hacer de signo: los números pares representan positivos y los impares negativos.
El sistema de puntación lo podemos elegir nosotros mismos: podemos puntuar a 10 puntos el acierto, 15 puntos si usamos todos los números, 5 puntos la aproximación menor o igual que 2, …
Nota: Si no tenemos dados suficientes se puede sustituir por un dado que se lanza varias veces.
Ejemplo de juego
Hay diferentes posibilidades de conseguir 40:
- (6+1)*5+5
- (6+1)*5+5+3-3
- [5*(5-1)]*6:3
Os dejo el documento con las explicaciones y el tablero:
URL: https://app.box.com/s/4evd1myohj6qj6w64i1hafxm2y56fugv
Se me olvidaba comentar que existe una app de este juego: https://play.google.com/store/apps/details?id=com.groggy.numberjumbler.free
Me declaro un admirador de Dan Meyer desde que vi su charla en TED «Las clases de matemáticas necesitan un cambio de imagen» y que os dejo a continuación. Considero que todos los que nos dedicamos a esta bella profesión de la enseñanza de las matemáticas deberíamos verlo y reflexionar sobre su mensaje. Puede que sea duro con la enseñanza de las matemáticas pero no por ello deja de llevar mucha razón.
Me encanta la premisa de Dan Meyer “si quieres que se establezca el diálogo matemático, simplifica todo lo que puedas los enunciados con los menores datos posibles y escucha”. Tenemos que acostumbrarnos a hablar menos y a escuchar más, a incentivar que sean los alumnos los que se hagan las preguntas.
El objetivo de la educación − por el cual me he convertido en profesor − es enseñar a los estudiantes a pensar de una forma productiva, provocar que se pregunten y reflexionen sobre aspectos que les inquietan. Que aprendan a pensar más despacio y en profundidad sobre distintos tópicos y no rápido y de forma impulsiva.
Dan Meyer
Matemáticas en tres actos
Pero si hay algo que me encanta de Dan Meyer es su método «Three-Act Math» («Matemáticas en tres actos»).
Lo que propone Dan Meyer es presentar a los alumnos un problema que consiga hacer un clic en sus cerebros, que les sugiera una pregunta más o menos obvia y la necesidad de saber la respuesta. Para conseguir lo anterior ha ideado un la metodología llamada «3acts» en la que divide la secuencia didáctica en 3 actos al estilo de una película.
- Acto 1. presenta la situación o problema de una situación llamativa e interesante que suscite preguntas. En esta fase, no se dan datos y se trata de que los alumnos empiecen a pensar las estrategias de resolución y se hagan las primeras preguntas. Las preguntas tiene que venir de los alumnos, no del profesor.
- Acto 2. Una vez que la pregunta (o preguntas) aparecen, se pasa al segundo acto que consiste en la búsqueda de una solución. Una de las máximas de Dan Meyer es que el profesor es más cuanto menos se necesite al profesor. En lugar de ofrecerle los datos hay que forzar a que sea el propio alumno quien pida los datos, mediciones, estimaciones. Incluso podríamos hacer que los invente.
- Acto 3. Una vez resuelto el problema, se presenta la solución y se corrobora la solución. Se abre la discusión acerca del resultado y de conceptos que normalmente no usamos como las aproximaciones. Si vemos un gran interés de los alumnos podemos abrir otras vías de investigación.
Lo mejor de Dan Meyer
Es difícil seleccionar actividades del método «3acts» pero en la siguiente presentación os muestro las que más me gustan, muchas de ellas las he probado en clase con buen resultado:
Todo el catálogo de actividades de 3acts lo tenemos en esta hoja de cálculo. Recomiendo visitar las diferentes propuestas e ir creando una selección personal y llevarlas a cabo en el aula.
Otra excelente web que recoge bastantes propuestas con el mismo método es: https://tapintoteenminds.com/3act-math/
Algunas de las que he usado en clase, las voy traduciendo al español y creando documentos con la propuesta. Desde aquí lanzo una propuesta a todo el profesorado interesado en ampliar este catálogo y poder crear un banco de recursos poderoso con esta metodología. Podemos traducir las que ya están creadas y que consideremos más interesantes o lanzarnos a crear nuestras propias propuestas (yo tengo algunas en mente que este verano espero darles forma). Podéis contactar conmigo mediante email o comentando esta entrada.
Las propuestas que he traducido son las siguientes:
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