Examen oposiciones La Rioja 2025 (1)

24. junio 2025 · Escribe un comentario · Categorías:Oposiciones · Etiquetas:Oposiciones

El sábado, 21 de junio de 2025, se realizaron los exámenes de las oposiciones de La Rioja de Profesores de Secundaria de Matemáticas. A día de hoy, martes 11 de junio, no han publicado la prueba de la fase práctica ( los que llamamos los problemas) pero por diferentes fuentes he conseguido tres ejercicios de los cuatro que conforman la prueba. Es curioso que no hayan publicado el examen de matemáticas ya que en otras especialidades sí que estaban publicados. También sé que no les dejaron sacar el examen. Sinceramente, desconozco el motivo. Seguiremos esperando.

Os adjunto un pdf ~~con las tres preguntas~~ con las cuatro preguntas ~~que tengo y en caso de obtener la cuarta la publicaré en el mismo documento~~: LaRioja-2025

En esta entrada, voy a analizar y dar el resultado de uno de ellos. En siguientes entradas resolveré el resto de ejercicios.

Ejercicio 1

Dada la siguiente función: $f(x)=\begin{cases}0\text{ si } x\leq 0 \\kxe^{-x^2}\text{ si } x>0\end{cases}$ se pide:

Hallar el valor de k para que $f(x)$ sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.
Calcula la función de distribución.
Calcula moda y mediana.
Calcula media y varianza.

Un ejercicio de distribuciones de probabilidad, a priori, bastante asequible aunque en el desarrollo del ejercicio nos vamos a encontrar con integrales de la función gamma que pueden imposibilitar su resolución.

Antes de adjuntar la solución os comento lo que hay que saber en cada apartado para resolver el problema:

Para que f sea función de densidad se ha de cumplir que el área comprendida entre f y el eje X ha de ser 1 que será la probabilidad total. Recordemos que en una variable aleatoria continua, la probabilidad $P(X\leq x)$ viene dada por $\int_{-\infty}^{x}f(x)dx$ . Por lo tanto, hemos de hallar k para que $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$ . La integral es muy sencilla por lo que no hay mayor problema para resolverlo.
La función de distribución es $F(x)= P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx$ .
La moda es el máximo de la función de densidad. Evidentemente solo puede existir para valores positivos. Simplemente derivar y halla el valor máximo de f. La mediana es el valor que ocupa la posición central, por lo tanto es el valor que $F(x_0)= P(X\leq x_0)=0,5$ .
La media es $\mu=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ y la varianza $\sigma^2=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx$ .