¿Qué fracción de este cuadrado es azul?
Nivel: Primer ciclo de Secundaria
Fuente: @republicofmath
Cuatro hombres, uno de los cuales cometió un robo, hicieron las siguientes afirmaciones al ser interrogados por la Policía:
- ARTURO: David lo hizo.
- DAVID: Antonio lo hizo.
- GUSTAVO: Yo no lo hice.
- ANTONIO: David mintió cuando dijo que lo hice.
Si sólo una de estas afirmaciones fuera cierta, ¿quién es el culpable?
Nivel: Primer ciclo de Secundaria
¿Qué ticket de descuento prefieres? ¿20 dolares (o euros) de descuento o el 20% de descuento en la compra?
Contestar razonadamente la respuesta.
Fuente: Dan Meyer
La suma de los números en cada círculo debe ser 55. ¿Qué números son X e Y?
Dados los siguientes triángulos:
Qué triángulo de los anteriores cumple la siguiente descripción:El triángulo PQR es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en R. El lado RQ es menor que el lado PR. M es el punto medio del lado PQ y N es el punto medio del lado QR. S es un punto del interior del triángulo.
El segmento MN es mayor que el segmento MS.
Nivel: Primer ciclo de Secundaria
Nota: En la solución, además del triángulo respuesta, se ha de explicar razonadamente porqué no lo son cada uno de los otros triángulos.
En anteriores entradas, publiqué los dos primeros ejercicios de las oposiciones 2025 de La Rioja con su solución:
Vamos con el cuarto ejercicio del examen
Ejercicio 4
Sea ![\mathbb{R}_2[x]](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cmathbb%7BR%7D_2%5Bx%5D+&bg=FFFFFF&fg=000000)
![\begin{matrix}f: \mathbb{R}_2[x]\times \mathbb{R}_2[x]\longrightarrow \mathbb{R}\\(p_1,p_2) \longrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}p_1(x)p_2(x)dx\end{matrix}](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Bmatrix%7Df%3A+%5Cmathbb%7BR%7D_2%5Bx%5D%5Ctimes+%5Cmathbb%7BR%7D_2%5Bx%5D%5Clongrightarrow+%5Cmathbb%7BR%7D%5C%5C%28p_1%2Cp_2%29+%5Clongrightarrow+%5Cdisplaystyle%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7Dp_1%28x%29p_2%28x%29dx%5Cend%7Bmatrix%7D+&bg=FFFFFF&fg=000000)
- Dada la base
, hallar la matriz G que caracteriza a la aplicación f en dicha base.
- Demostrar que la aplicación f es definida positiva.
Dados los polinomios 
Es un ejercicio de álgebra lineal que no tiene mucho que decir. Lo único extraño es pedir la demostración de que f es positiva ya que es muy complicado que nadie se acuerde de dicha definición. Saber hacer o no ese ejercicio, no dice NADA de los conocimientos matemáticos de la persona.
Os dejo la solución: ejer04-larioja-2025
Retomo el blog tras un tiempo parado para ir poco a poco haciendo entradas de recopilaciones de los materiales interesante que voy encontrando en la red.
Empiezo hoy con unas aplicaciones para realizar operaciones con matrices.
Matrix Multiplication
Una herramienta muy sencilla y muy visual para realizar multiplicaciones de matrices: Matrix Multiplication
En el siguiente vídeo podéis ver su funcionamiento:
Matrix Calculator
Matrix calculator es una excelente aplicación en la que podemos hacer todo tipo de operaciones de álgebra matricial. En la siguiente imagen vemos lo que podemos hacer con matrices:
Las principales opciones que tenemos son:
- Operaciones con matrices: hallar el determinante, la inversa, la traspuesta, hallar el rango, cualquier potencia, triangularla, diagonalizarla, …
- Resolver sistemas de ecuaciones: resolver sistemas por Gauss, por la inversa, por el método de Cramer, …
- Calculadora de determinantes: nos ayuda a encontrar el determinante, ampliando una fila o columna, utilizando la fila de reducción para obtener ceros en una fila o columna. Y lo bueno es que podemos ver los resultados intermedios.
- Calculo de los valores y vectores propios
Matriz Inversa
Este recurso no tiene ni mucho menos el nivel de los anteriores pero os lo comparto de igual manera.
Es un sencillo Geogebra creado por mi para practicar el cálculo de la inversa de matrices 2×2 y 3×3.
Eso es todo, espero que os gusten.
En febrero y marzo del curso 2017/2018, impartí en el «CIFE de Logroño» un curso titulado como esta entrada «Recursos e ideas para la clase de matemáticas«.
El objetivo que figuraba en la convocatoria era «dar al profesorado estrategias y recursos motivantes que justifiquen la necesidad de conocer las matemáticas a través de proyectos de investigación, tecnologías que mejoren el aprendizaje y la resolución de problemas como reto formativo de primer orden. Todo ello desde mi perspectiva de uso en el aula, viendo aquellas herramientas que a mi me sirven, aquellos proyectos que me han funcionado (y también aquellos que no), usando recursos sencillos que resultan motivadores para el alumnado, etc,»
Sin entrar en más profundidades, me gusta entender las matemáticas en base a estas palabras de G. H. Hardy:
Un matemático, como un pintor o un poeta, es un creador de patrones. Si sus patrones son más permanentes que los del poeta, es porque están hechos de ideas.
Y si a las palabras de Hardy le añadimos las de Goethe “Saber no es suficiente, debemos aplicar. Desear no es suficiente, debemos hacer”, se nos presenta el aula de matemáticas como una bella excusa para pensar como decía el amigo “Ángel Ramírez”:
El curso constaba de cuatro ejes fundamentales que coincidían con las diferentes sesiones, excepto el primero que constaba de dos sesiones:
- Utilidades y recursos TIC: Desmos, Kahoot, Plickers,ThatQuiz, libros de GeoGebra … (dos sesiones)
- Proyectos matemáticos: restaurante matemático y otros guisos
- Juegos matemáticos para el aula: puzzles, bingos, cuatro en raya
- Ideas y recursos varios para el aula: cine y matemáticas, matemáticas en tres actos, investigaciones matemáticas.
En la siguiente presentación, que fue la introducción al curso podéis haceros una idea de parte del curso:
Sin embargo, mi objetivo era mucho menos ambicioso. Trataba fundamentalmente de compartir con mis compañeros mi visión de la educación matemática y, fundamentalmente, compartir los recursos que he ido creando estos años para el aula.
Por este mismo motivo, y tras darle muchas vueltas debido a la exposición que esto supone, he decidido compartir con todos vosotros la web que creé para recoger todos los materiales que compartí durante el curso. Una web que independientemente de que estemos de acuerdo en el enfoque didáctico, tiene muuuucho trabajo detrás. Espero que os guste y que podáis sacar provecho de los múltiples materiales que hay en ella.
No os entretengo más y os dejo el enlace de la web:
En anteriores entradas, publiqué los dos primeros ejercicios con su solución:
Veamos el tercero.
Ejercicio 3
Sean dos circunferencias de radios R y r, con centros, respectivamente, O y O’ que son tangentes exteriores en el punto A.
Por el punto A se traza la recta tangente común a ambas circunferencias.
Si desde un punto cualquiera, B, de dicha tangente, se trazan dos rectas tangentes, una a cada una de las circunferencias, los puntos C y C’ son, respectivamente, son los puntos de tangencia.
- Hallar el límite del cociente de las áreas de los triángulos ABC y ABC’ cuando B se aproxima a A.
- Hallar el límite del cociente de las áreas de los triángulos ABC y ABC’ cuando B se aleja indefinidamente de A.
La clave de este ejercicio es darse cuenta que los segmentos BC y BA son iguales. Luego se ve que los triángulos OAB y ADB son semejantes lo que nos permite poner el área del triángulo ADB (que es la mitad del ABC) en función de R y b (distancia de A a B). Luego basta con hallar los límites cuando b (distancia de A a B) tiende a cero y cuando b tiende a infinito.
En el siguiente geogebra se puede ver con claridad:
Os adjunto un documento con todo el ejercicio resuelto: ejer03-larioja-2025
En la anterior entrada, publiqué el primer ejercicio con su solución. Ahora vamos a por el segundo.
Ejercicio 2
- Las raíces de la ecuación
son las longitudes de los lados de un triángulo. Encuentra el área del triángulo.
- Resolver la integral:
![\displaystyle \int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\, dx](http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint%5Cfrac%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B1%2B%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%7D%7D%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%5C%2C+dx+&bg=FFFFFF&fg=000000)
Las ideas para la resolución son las siguientes:
- Usar la fórmula de Herón (
, s el semiperímetro) junto a las ecuaciones de Cardano- Vieta.
- Aplicar cambios de variable para eliminar las raíces y llegar a una expresión polinómica.
Os adjunto un documento con todo el ejercicio resuelto: ejer02-larioja-2025
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