Examen oposiciones La Rioja 2025 (4)

01. julio 2025 · Escribe un comentario · Categorías:Oposiciones · Etiquetas:

En anteriores entradas, publiqué los dos primeros ejercicios de las oposiciones 2025 de La Rioja con su solución:

Vamos con el cuarto ejercicio del examen 

Ejercicio 4

Sea \mathbb{R}_2[x] el espacio vectorial de los polinomios p(x)=ax^2+bx+c de grado menor o  igual que dos y sea f la aplicación bilineal:

\begin{matrix}f: \mathbb{R}_2[x]\times \mathbb{R}_2[x]\longrightarrow \mathbb{R}\\(p_1,p_2) \longrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}p_1(x)p_2(x)dx\end{matrix}

  1. Dada la base B=\left\{1,x,x^2\right\} , hallar la matriz G que caracteriza a la aplicación f en dicha base.
  2. Demostrar que la aplicación f es definida positiva.

Dados los polinomios p(x)=3x^2+1 , q(x)=2x+1 , calcular \displaystyle\int_{0}^{1}p(x)q(x)dx sin realizar para ello la integración.

 

Es un ejercicio de álgebra lineal que no tiene mucho que decir. Lo único extraño es pedir la demostración de que f es positiva ya que es muy complicado que nadie se acuerde de dicha definición. Saber hacer o no ese ejercicio, no dice NADA de los conocimientos matemáticos de la persona.

Os dejo la solución: ejer04-larioja-2025

Examen oposiciones La Rioja 2025 (3)

25. junio 2025 · Escribe un comentario · Categorías:Oposiciones · Etiquetas:

En anteriores entradas, publiqué los dos primeros ejercicios con su solución:

Veamos el tercero.

Ejercicio 3

Sean dos circunferencias de radios R y r, con centros, respectivamente, O y O’ que son tangentes exteriores en el punto A.

Por el punto A se traza la recta tangente común a ambas circunferencias.

Si desde un punto cualquiera, B, de dicha tangente, se trazan dos rectas tangentes, una a cada una de las circunferencias, los puntos C y C’ son, respectivamente, son los puntos de tangencia.

  1. Hallar el límite del cociente de las áreas de los triángulos ABC y ABC’  cuando B se aproxima a A.
  2. Hallar el límite del cociente de las áreas de los triángulos ABC y ABC’ cuando B se aleja indefinidamente de A.

La clave de este ejercicio es darse cuenta que los segmentos BC y BA son iguales. Luego se ve que los triángulos OAB y ADB son semejantes lo que nos permite poner el área del triángulo ADB (que es la mitad del ABC) en función de R y b (distancia de A a B). Luego basta con hallar los límites cuando b (distancia de A a B) tiende a cero y cuando b tiende a infinito.

En el siguiente geogebra se puede ver con claridad:

Os adjunto un documento con todo el ejercicio resuelto: ejer03-larioja-2025

Examen oposiciones La Rioja 2025 (2)

25. junio 2025 · Escribe un comentario · Categorías:Oposiciones · Etiquetas:

En la anterior entrada, publiqué el primer ejercicio con su solución. Ahora vamos a por el segundo.

Ejercicio 2

  1. Las raíces de la ecuación x^3-16x^2+81x-128=0 son las longitudes de los lados de un triángulo. Encuentra el área del triángulo.
  2. Resolver la integral: \displaystyle \int\frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}}\, dx

Las ideas para la resolución son las siguientes:

  1. Usar la fórmula de Herón (A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} , s el semiperímetro) junto a las ecuaciones de Cardano- Vieta.
  2. Aplicar cambios de variable para eliminar las raíces y llegar a una expresión polinómica.

Os adjunto un documento con todo el ejercicio resuelto: ejer02-larioja-2025

Examen oposiciones La Rioja 2025 (1)

24. junio 2025 · Escribe un comentario · Categorías:Oposiciones · Etiquetas:

El sábado, 21 de junio de 2025, se realizaron los exámenes de las oposiciones de La Rioja de Profesores de Secundaria de Matemáticas. A día de hoy, martes 11 de junio, no han publicado la prueba de la fase práctica ( los que llamamos los problemas) pero por diferentes fuentes he conseguido tres ejercicios de los cuatro que conforman la prueba. Es curioso que no hayan publicado el examen de matemáticas ya que en otras especialidades sí que estaban publicados. También sé que no les dejaron sacar el examen. Sinceramente, desconozco el motivo. Seguiremos esperando.

Os adjunto un pdf con las tres preguntas con las cuatro preguntas  que tengo y en  caso de obtener la cuarta la publicaré en el mismo documento: LaRioja-2025

En esta entrada, voy a analizar y dar el resultado de uno de ellos. En siguientes entradas resolveré el resto de ejercicios.

Ejercicio 1

Dada la siguiente función: f(x)=\begin{cases}0\text{ si } x\leq 0 \\kxe^{-x^2}\text{ si } x>0\end{cases} se pide:
  1. Hallar el valor de k para que f(x) sea la función de densidad de una variable aleatoria continua X.
  2.  Calcula la función de distribución.
  3.  Calcula moda y mediana.
  4.  Calcula media y varianza.

Un ejercicio de distribuciones de probabilidad, a priori, bastante asequible  aunque en el desarrollo del ejercicio nos vamos a encontrar con integrales de la función gamma que pueden imposibilitar su resolución.

Antes de adjuntar la solución os comento lo que hay que saber en cada apartado para resolver el problema:

  1. Para que f sea función de densidad se ha de cumplir que el área comprendida entre f y el eje X ha de ser 1 que será la probabilidad total. Recordemos que en una variable aleatoria continua, la probabilidad P(X\leq x) viene dada por \int_{-\infty}^{x}f(x)dx. Por lo tanto,  hemos de hallar k para que \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1. La integral es muy sencilla por lo que no hay mayor problema para resolverlo.
  2. La función de  distribución es F(x)= P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx.
  3. La moda es el máximo de la función de densidad. Evidentemente solo puede existir para valores positivos. Simplemente derivar y halla el valor máximo de f. La mediana es el valor que ocupa la posición central, por lo tanto es el valor que F(x_0)= P(X\leq x_0)=0,5.
  4. La media es \mu=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx y la varianza \sigma^2=\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx. 

Os adjunto un documento con todo el ejercicio resuelto: ejer01-larioja-2025

Examen Oposiciones Madrid Estabilización 2023

31. julio 2023 · Escribe un comentario · Categorías:Oposiciones · Etiquetas:

Vamos con otro examen más de la serie de Oposiciones. En este caso vamos a ver el examen de Madrid de 2023 de la convocatoria de estabilización. Parece ser que en 2023 hubo dos oposiciones, una de estabilización y la otra, de acceso libre. El examen de esta convocatoria, como veréis a continuación es bastante más sencillo que el de la convocatoria de acceso libre y, sin lugar a dudas, el más simple que he visto nunca en una oposición. 

El examen lo podéis encontrar en este enlace:  Estabilización Madrid 2023

Veámoslo ejercicio por ejercicio.

Ejercicio 1

Un ejercicio de análisis que tuve que leer varias veces ya que no daba crédito a su sencillez. 

Solución: Madrid-2023-estabilizacion-solucion-ejer1

Ejercicio 2

Un ejercicio de geometría en polares que no tiene mayor dificultad. En el apartado 4, se pide hallar una longitud de arco que sale muy sencilla en polares pero si alguien no se acuerda de cómo se hacía en polares, es sencillo hacer una parametrización y hacerlo en paramétricas.

Solución: Madrid-2023-estabilizacion-solucion-ejer2

Ejercicio 3

Un ejercicio de probabilidad de un nivel de 2º de bachillerato o incluso de 4º de ESO si se han visto árboles de probabilidad.

Solución: Madrid-2023-estabilizacion-solucion-ejer3

Ejercicio 4

Un típico ejercicio de álgebra lineal con cambios de base y una función lineal. Sabiendo lo justo de las ecuaciones de cambios de base se realiza en muy poco tiempo.

Solución: Madrid-2023-estabilizacion-solucion-ejer4

Examen Oposiciones Madrid 2021

21. julio 2023 · Escribe un comentario · Categorías:Oposiciones · Etiquetas:

Seguimos con la serie de exámenes de oposiciones de Matemáticas. 

Ahora le toca el turno al de Madrid de 2021.

El examen completo lo tenéis en el siguiente enlace: madrid_rh03_2021_exam_590006_matematicas

Veamos la solución de cada ejercicio. Veréis que las soluciones están creadas con una tablet y la caligrafía puede ser que no se entienda muy bien. Si necesitáis alguna aclaración, no dudéis en preguntarme.

Problema 1

Un ejercicio de probabilidad:

Solución: Problema 1

Problema 2

Un problema de geometría y análisis, en concreto de lugares geométricos y áreas:

Solución: hay dos versiones, problema2v1 y problema2v2

Problema 3

Una ecuación diofántica sencilla:

Solución: Problema 3

Problema 4

Un sencillo ejercicio de determinantes y divisibilidad:

Solución: Problema 4

 

Examen Oposiciones Navarra 2021

15. julio 2023 · 2 comentarios · Categorías:Oposiciones · Etiquetas:

En un post anterior, publiqué el examen de Matemáticas de las oposiciones de Secundaria de Navarra que llamaron COVID con sus correspondientes soluciones. Ahora os comparto el examen principal de la misma convocatoria (el que hicieron la gran mayoría de los que se presentaron).

El examen completo lo tenéis en el siguiente enlace: Examen Navarra 2021.

Veamos la solución de cada ejercicio. Veréis que las soluciones están creadas con una tablet y la caligrafía puede ser que no se entienda muy bien. Si necesitáis alguna aclaración, no dudéis en preguntarme.

Problema 1

Un problema muy sencillo de álgebra que se resuelve por inducción.

Solución: problema 1

Problema 2

Un problema de análisis matemático en el que básicamente hay que saber derivar.

Solución: problema 2

Problema 3

Un ejercicio de análisis que tenía bastante complicación:

Solución: problema 3

Problema 4

Un problema de funciones de distribución de probabilidad sin mayor dificultad:

Solución: problema 4

 

 

 

 

2 comentarios

 
 
  1. Carlos
    17 abril, 2025 a 11:41 (Editar)

    El enlace a la solución del problema 2 de Navarra 2021 (Castellano) no funciona.
    Por otro lado, en el 3, donde pone la gamma de 1/3, entiendo que es para sacar la solución numérica aunque en el examen se dejaría indicado ¿no?
    Saludos, felicidades por la página que está fenomenal.

    Respuesta
    • Antonio
      17 abril, 2025 a 13:01 (Editar)

      Hola Carlos,
      Efectivamente, se me ha olvidado poner el enlace. En breve lo soluciono.

      Sobre la función gamma, es posible que con indicarlo sea suficiente, no lo sé.
      Gracias por tus palabras.

      Si te ha gustado el blog mira mi web sobre «Ideas y recursos educativos para matemáticas»: https://aomatos.com/recursosmates/.

      Un saludo.

Examen Oposiciones Navarra COVID 2021

13. julio 2023 · 2 comentarios · Categorías:Oposiciones · Etiquetas:

Con este post, inicio una nueva serie en la que iré poniendo las soluciones de diferentes exámenes de oposiciones de Matemáticas de Secundaria que he ido resolviendo.

Empiezo con el examen de 2021 de Navarra que en la web de Educación de Navarra lo tienen etiquetado como «COVID». En dicha web, hay dos exámenes,  un examen que realizaron el 19 de junio y éste que fue realizado el 11 de julio. No sé el motivo pero supongo que es una convocatoria especial para las personas que estaban con el COVID en el primer examen.

El examen completo lo tenéis en el siguiente enlace: Navarra-2021-COVID.

En este post, os comparto las soluciones de los diferentes problemas.

Problema 1

Como podéis ver es un ejercicio de Análisis Matemático  de un nivel de primer curso de un grado. 

 

Solución:  Navarra-COVID-2020-ejer1

Problema 2

Un ejercicio de Álgebra Lineal con una aplicación lineal y cambios de bases.

Solución: Navarra-COVID-2020-ejer2

Problema 3

Un ejercicio de geometría con la demostración de una propiedad geométrica en el apartado b.

En el apartado a siempre tengo la duda de qué es lo que piden: ¿hallar las coordenadas de S o explicar la construcción? En la solución, he hallado las coordenadas para el origen en C y el eje OX sobre la recta BC. No sé si habría que añadir los cambios de sistema de coordenadas para datos genéricos.

Solución: Navarra-COVID-2020-ejer3

Problema 4

Un ejercicio de probabilidad de nivel de 2º de bachillerato. 

Solución: Navarra-COVID-2020-ejer4