Teoría

Sistemas de numeración

Sistema de numeración decimal

El sistema de numeración que utilizamos se llama sistema posicional decimal.

El sistema de numeración decimal permite escribir cualquier número con diez ( de ahí la palabra "decimal") símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos diez símbolos se llaman cifras o dígitos.
La palabra "posicional" quiere decir que cada cifra tiene diferente valor según la posición que ocupe en el número. Así, un 2 colocado en la primera posición (empezando por la derecha) tiene valor de "2 unidades", mientras quee ese mismo 2 colocado en la tercera posición (desde la derecha también) tiene un valor de "2 centenas", equivalente a "200 unidades".

Recuerda lo que representan cada cifra en un número. Por ejemplo en el 58431, el 1 son las unidades, el 3 las decenas, el 4 las centenas, el 8 las unidades de millar y el 5 las decenas de millar.

Sistema de numeración romano

A lo largo de la historia se han usado diferentes sistemas de numeración. Los romanos usaron un sistema no posicional, un sistema aditivo en el que cada letra tiene siempre el mismo valor. Las siete letras que usaron son:

I=1  V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000

Las reglas para escribir números romanos son:

• Los números se escriben empezando con las letras de más valor a la izquierda y añadiendo letras de igual o menor valor a su derecha que van sumando su valores. Ejemplo: XXVII = 10+10+5+1+1=27
• Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces seguidas, las demás no se pueden repetir.
• La letra I a la izquierda de V o X, la X a la izquierda de L o C y la C a la izquierda de D o M les restan su valor. IXV=4, IX=9, XL=40, XC=90, CD=400 y CM=900
• Una raya encima de un grupo de letras multiplica su valor por mil.

Operaciones

Suma

Los números que se suman se llaman sumandos. Un paréntesis indica la suma que se realiza primero.
La suma de números naturales tiene las siguientes propiedades:

• Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma.
                                a+b=b+a
• Asociativa: Se pueden asociar de cualquier modo los sumandos sin alterar la suma.
             a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).

Resta

Los números que intervienen en una resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia: Minuendo−Sustraendo=Diferencia

 

Multiplicación y división

La multiplicación de un número a, mayor que 1, por otro b es la suma de a sumandos iguales al número b. Se expresa axb o a·b; a y b se llaman factores.

PROPIEDADES:
   ▪ Conmutativa: a·b=b·a
   ▪ Asociativa: (a·b)·c=a·(b·c)=a·b·c

La división es la operación contraria a la multiplicación y se expresa a:b o a/b o

• a:b=c significa que a=b·c; a es el dividendo, b el divisor y c el cociente.

Muchas veces la división no es exacta. Por ejemplo, 45:8 no es una división exacta porque 8·5=40 y 8·6=48; entonces 45 entre 8 tiene de cociente 5 y de resto 45−40=5.

 

Jerarquía de las operaciones

El orden para realizar operaciones es:

1) Operaciones entre paréntesis
2) Multiplicaciones y divisiones
3) Sumas y restas

 Si solo hay multiplicaciones y divisiones o solo hay sumas y restas, se realizan de izquierda a derecha.

 Otras propiedades
 • Elemento neutro para la suma: 0. 0+a=a
 • Elemento neutro para el producto: 1. 1·a=a
 • Propiedad distributiva: a·(b+c)=a·b+a·c
 • 0·a=0

 Potencias

Potencias de base y exponente natural

Una potencia es una manera abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales.

Por ejemplo, 2⁴ es una potencia. Se lee "dos elevado a cuatro" y significa 2·2·2·2. La base es 2, que es el factor que se repite. El exponente es 4, que es el número de veces que se repite la base.

Observa que las potencias más sencillas son las que tienen como base 1 ó 10.

 Propiedades de las potencias

 • Producto con la misma base .Ejemplo: a^m· aⁿ = a^m+n . Ejemplo: 6⁷ · 6⁴ = 6⁷⁺⁴ =6¹¹

 • Cociente con la misma base: a^m : aⁿ = a^m-n.Ejemplo: 6^{7 :} 6⁴ = 6^7-4 = 6³

• Potencia de una potencia: (a^m)ⁿ = a^m·n . Ejemplo: (6⁷ )⁴= 6^7·4 = 6²⁸

• Producto y el mismo exponente:   aⁿ · bⁿ= (a·b)ⁿ .

 • Cociente y el mismo exponente: aⁿ : bⁿ = (a:b)^{n .}

 • Exponente 0: a⁰ = 1

 • Exponente 1: a¹ = a

Raíces cuadradas

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada es la operación contraria a elevar al cuadrado. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 64 es 8 porque 8²=64 y se escribe √64=8.
El símbolo √  se llama radical y el número que está dentro del radical es el radicando.

 Si un número se eleva al cuadrado se obtiene un número cuadrado. Los números cuadrados tienen una raíz cuadrada exacta.

 √a=b significa que b²=a

√radicando = raíz cuadrada

Raíz cuadrada entera

Muchos números no tienen raíz cuadrada exacta. En tal caso se calcula la raíz cuadrada entera y habrá un resto.

Por ejemplo, 70 no tiene raíz cuadrada exacta porque 8²=64 y 9²=81. La raíz cuadrada entera de 70 es 8 y el resto es 70−64=6. √70=8 y resto 6.

Para hacer raíces cuadradas por tanteo buscaremos números que al elevarlos al cuadrado se aproximen al radicando.

Recuerda lo más importante

Números naturales • Hay diez cifras o dígitos para formar los números. Cada cifra tiene un valor dependiendo de la posición que ocupe (en el número 3588, la cifra 5 vale 500). • Los números están ordenados y se usa el símbolo < para menor que y > para mayor que. • Redondear un número es sustituir sus últimas cifras por ceros pero observando la primera cifra que se sustituye por si hay que añadir una unidad a la cifra anterior.	Potencias • Una potencia es una multiplicación de factores iguales. El factor que se repite es la base y el exponente es el nº de veces que se repite la base.
Operaciones • En la suma hay sumandos;  en la resta está el minuendo y el sustraendo, y el primero tiene que ser mayor que el segundo; en la multiplicación hay factores; en la división se cumplirá: dividendo = divisor · cociente + resto   (resto<divisor) y si el resto es cero la división es exacta. • Cuando se realicen operaciones combinadas, primero se hacen los paréntesis, después los productos y divisiones, y lo último son las sumas y restas.	Raíz cuadrada • √a=b si b2=a. (a es el radicando y b es la raíz cuadrada). Si no hay raíz exacta, elegimos el mayor número b tal que b2<a, y habrá un resto=a-b2.
	Calculadoras • Antes de usar una calculadora debes saber si es científica (respeta la jerarquía de las operaciones) o estándar (realiza las operaciones en el orden en que se introducen).