Teoría

Divisibilidad en los números naturales

Un número es divisible por otro cuando la división entre ellos es exacto, o sea, el resto de la división es cero.

Cuando esto sucede decimos que D es divisible por d. Tenemos que D contiene un número exacto de veces a d.

Ejemplos:

• Si dividimos 48 entre 8, el cociente es 6 y el resto 0. En este caso decimos que 48 es divisible por 8. Y podemos comprobar que 6 veces 8 nos da 48, o sea, el número 48 contiene 6 veces al 8.
• Al contrario, si dividimos 63 entre 4, el cociente es 15 y el resto es 3. Por lo tanto, 63 no es divisible entre 4.

Criterios de divisibilidad

Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten saber de forma rápida (sin efectuar la división) si un número es divisible por otro.

En la siguiente tabla se pueden ver los principales criterios de divisibilidad:

Divisible por ...	Criterio de divisibilidad
2	La última cifra es par. Ejemplo: 738 ya que 8 es par.
3	La suma de sus cifras es divisible por 3. Ejemplo: 738, la suma de sus cifras es 7+3+8=18 que es divisible por 3.
4	El número que forma las dos últimas cifras es divisible por 4. Ejemplo: 432, sus dos últimas cifras 32 es divisible por 4.
5	La última cifra es 0 ó 5. Ejemplo: 65345, su última cifra es 5.
6	Si es divisible por 3 y 2 a la vez. Ejemplo: 738 ya que divisible por 2 y 3.
7
8	El número que forma las dos últimas cifras es divisible por 8. Ejemplo: 1.104, sus tres últimas cifras 104 es divisible por 8.
9	La suma de sus cifras es divisible por 9. Ejemplo: 738, la suma de sus cifras es 7+3+8=18 que es divisible por 9.
10	La última cifra es 0.Ejemplo: 65340, su última cifra es 0.
11	La diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar es 0 o divisible por 11.

 Múltiplos y divisores

Un número b es múltiplo de otro a si la división de b entre a es exacta. O lo que es lo mismo, si b es divisible por a. Ejemplos: 45 es múltiplo de 5, también lo sería de 9 y de 3.

Un número a es divisor de otro número b si si la división de b entre a es exacta. 

Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entre los sucesivos números naturales hasta que el cociente es menor que el divisor. Por supuesto, el 1 y el propio número siempre son divisores de un número.

Ejemplo: calcular los divisores de 72. 72 es múltiplo de 2 ya que es par. Dividimos 72 entre 2, el cociente es 36. Aplicamos el mismo procedimiento sobre 36, dividimos entre 2, cociente 18. Aplicamos sobre 18, dividimos entre 2, el cociente es 9. Aplicamos al 9, 9 no es divisible entre 2, probamos con 3 que sí lo es. Dividimos 9 entre 3, cociente 3. Aplicamos sobre el 3 que el divisor es el mismo. Por lo tanto, los divisores de 72 son el 2 que lo es 3 veces y el 3 que es 2 veces.

Números primos y compuestos

Un número a es primo si sus únicos divisores son el mismo y la unidad. Ejemplo: 47, divisores 1 y 47.

Un número a es compuesto si tiene más de dos divisores. Ejemplo: 48, divisores {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48}

Todos los números se pueden descomponer en factores que es expresarlo en forma de producto. Los números primos solo tienen una descomposición en factores: a= a ·1

Factorizar un número es expresarlo como  producto de factores primos o, dicho de otra manera, descomponerlo en factores primos. Por ejemplo, la factorización de 72 que hemos visto en el ejemplo anterior es 72= 2·2·2·3·3. Generalmente lo expresaremos en forma de potencias, 2·2·2 es 2³ y 3·3 es 3²  y la descomposición es 72= 2³ · 3² .

Máximo común divisor (MCD)

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores que tienen dichos números en común.

Los divisores de 12 son { 1, 2, 3, 4, 6, 12} y los de 20 son {1, 2, 4, 5, 10, 20}. Por lo tanto, el mayor de los divisores comunes (MCD) es MCD(12, 20) = 4.

Cómo calcular el MCD de dos números:

Pasos a seguir	Ejemplo de MCD de 72 y 48
Hacer la descomposición factorial	Hacemos la descomposición factorial de 72 y 48: 72 = 23 · 32 48 = 24 · 3
Escogemos los factores primos comunes elevados al menor exponente.	Los factores primos comunes son 2 y 3. El menor exponente es 3 para el número 2 y 1 para el número 3. Nos quedamos con 23 y 3.
Multiplicamos los factores con el menor exponente	El MCD(72,48)= 23 · 3= 8·3 = 24

 

Mínimo común múltiplo (mcm)

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes a dichos números.

Los múltiplos de 12 son { 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...} y los de 20 son {20, 40, 60, 80, 100, ...}. Por lo tanto, el menor de los múltiplos comunes (mcm) es mcm(12, 20) = 60.

Cómo calcular el mcm de dos números:

Pasos a seguir	Ejemplo de mcm de 72 y 48
Hacer la descomposición factorial	Hacemos la descomposición factorial de 72 y 48: 72 = 23 · 32 90 = 2 · 32 · 5
Escogemos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.	Los factores primos comunes y no comunes son 2, 3 y 5. El mayor exponente es 3 para el número 2, 2 para el número 3 y 1 para el 5 . Nos quedamos con 23 , 32 y 5
Multiplicamos los factores con el mayor exponente	El mcm(72,48)= 23 · 32 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360