Teoría

Definición y elementos de una fracción

Una fracción expresa un valor numérico. Sabemos que los números naturales expresan cantidades referidas a objetos enteros,las fracciones expresan cantidades en las que los objetos están partidos en partes iguales.

Una fracción es el cociente de dos números. Es decir, es una división sin realizar. Una fracción expresa el valor o número que resulta al realizar esa división.

Los elementos que forman la fracción, y que se escriben separados por una raya horizontal, son:

• El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada unidad.

 Cómo se lee una fracción

Primero se lee el numerador como cualquier número.
Después se lee el denominador de esta manera:
- Si es el 1 se lee enteros.
- Si es el 2 se lee medios.
- Si es el 3 se lee tercios.
- Si es el 4 se lee cuartos.
- Si es el 5 se lee quintos
- Si es el 6 se lee sextos
- Si es el 7 se lee séptimos
- Si es el 8 se lee octavos
- Si es el 9 se lee novenos
- Si es el 10 se lee décimos
- Si es más de 10 se lee el número terminado en avos. Ejemplo onceavos, doceavos, treceavos, ...
- Si es una potencia de 10 se lee el número terminado en ésimos. Ejemplo centésimos, milésimos, diezmilésimos, ...

Pasar una fracción a un decimal

• Para pasar una fracción a un número decimal se divide el numerador entre el denominador.
Hay divisiones cuyo resultado es un número natural. Otras divisiones tienen como resultado un número decimal con algunas cifras decimales. En otras divisiones el resultado es un decimal periódico, que tiene un grupo de cifras decimales que se repiten y por muchas cifras decimales que saquemos no se llega a tener de resto 0.

• Para pasar un número decimal no periódico a una fracción se pone de numerador el número sin la coma y de denominador el 1 seguido de tantos 0 como cifras decimales tuviera el número decimal.

• Un número natural equivale a una fracción cuyo numerador es ese número y cuyo denominador es 1.

Fracciones equivalentes, número racional

Una fracción representa una división, sabemos que hay diversas divisiones que dan el mismo resultado, valen lo mismo.

Las fracciones equivalentes tienen distinto numerador y denominador, pero valen lo mismo. Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella.

• Para obtener otra fracción equivalente a una dada nos basta con multiplicar o dividir sus términos por el mismo número.

Un número racional es todo valor que puede ser expresado mediante una fracción.
Todas las fracciones equivalentes entre sí expresan el mismo número racional.

 Fracciones Irreducibles

Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí

Productos cruzados

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el método más fácil es el de los productos cruzados.
Multiplicamos sus términos en aspa, el numerador de cada una por el denominador de la otra, si ambos productos son iguales las fracciones son equivalentes.

 Si dos fracciones son equivalentes, el producto del numerador de una fracción por el denominador de la otra ha de dar lo mismo en ambos casos.

Simplificar una fracción

Todas las fracciones equivalentes entre sí representan el mismo valor. Por tanto, nos interesa emplear la fracción más simple, ésa será la que tenga el numerador y denominador más pequeños.
A esa fracción se la llama fracción irreducible porque ya no se puede simplificar más.

Nos valemos de la propiedad fundamental de la división. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador por el mismo número obtenemos otra fracción equivalente.

Para simplificar una fracción debemos buscar un número que sea divisor del numerador y del denominador para dividirlos por él.

Nos interesa dividirlos por el número mayor posible, ese número es el máximo común divisor de ambos, así, de una sola vez habremos llegado a la fracción irreducible.

Suma de fracciones

Para sumar fracciones es necesario que tengan todas el mismo denominador.
Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas.
Para ello se siguen estos pasos:

• Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone de denominador de cada una.
• Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número por el denominador de una fracción y se multiplica por su numerador.
• Finalmente se suman los numeradores y se pone el mismo denominador.
• Si se puede se simplifica.

Sumas y restas de fracciones

Cuando tenemos juntas sumas y restas seguimos el mismo proceso que si tuviéramos solamente sumas:

• En primer lugar, si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas.
• Una vez con el mismo denominador, se suman y restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
• Por último si se puede se simplifica.

Os dejo una bonita imagen que muestra el proceso de sumar y restar fracciones poniendo como denominador el producto de los denominadores:

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a común denominador, se multiplican directamente.

Multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador, multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador.

Para multiplicar un número natural por una fracción lo multiplicamos solamente por el numerador.

Fracción inversa de una fracción

La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad.

La fracción que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de ella, es su fracción inversa.

Lógicamente, si una fracción es inversa de otra, también son sus inversas todas las equivalentes a ésa.

• La fracción de valor 0 es la única que no tiene inversa.

División de una fracción por otra

Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

• Una fracción se puede dividir por cualquier otra, menos por la fracción 0.